Net-MathebuchAktuelle Themen aus dem Jahr 2024
Den in Mitteleuropa vorkommenden Käfer Coleoptera bumuesis gibt es in zwei verschiedenen Farbvarianten:
rot 
und blau 
.
Die beiden charakteristischen Habitate (Lebensräume) der Käfer sind zum einen feuchte Kellergewölbe in Steinhäusern und zum anderen Feuchtwiesen an Waldrändern.
Eine der noch ungeklärten Fragen in der Biologie der Käfer ist, ob die zwei Haupthabitate einen entscheidenden Einfluss auf das Vorkommen der verschiedenn Farbvarianten der Käfer besitzen.
Als Grundlage für eine weitergehende wissenschaftliche Untersuchung soll im Rahmen einer biologischen Seminararbeit eine kleine statistische Erfassung der Anzahlen der Käfervariationen erfolgen.
Nach längerer Suche werden vier entsprechende Habitate der nicht sehr häufigen Käferart als Grundlage der Untersuchung ausgewählt und anschließend verglichen.
| Habitat 1_1 (Keller) | Habitat 1_2 (Feuchtwiese) | |||
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rel. Häufigkeit "rot" `5/12` `= 0.41bar6` |
`>` |
rel. Häufigkeit "rot" `3/8` `= 0.375` |
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| Habitat 2_1 (Keller) | Habitat 2_2 (Feuchtwiese) | |||
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rel. Häufigkeit "rot" `7/11` `= 0.bar(63)` |
`>` |
rel. Häufigkeit "rot" `10/16` `= 0.625` |
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Diese kleine Untersuchung lässt die Vermutung für eine Farbverteilungsthese aufkommen:
"Der Anteil der roten Käfer ist in den Kellerhabitaten (deutlich?) höher als in den Feuchtwiesen."
In einer Mitteilung an das Institut sollen diese Ergebnisse gebündelt und als Grundlage für weitere Untersuchungen genutzt werden.
Dazu werden die Daten der beiden Habitatarten zusammengefasst und weitergegeben.
| Habitat I (Keller) | Habitat II (Feuchtwiese) | |||
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rel. Häufigkeit "rot" `12/23` `~~ 0.5217` |
`<` |
rel. Häufigkeit "rot" `13/24` `= 0.541bar6` |
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Dieses zusammengefasste Ergebnis der beiden Untersuchungen löst unter den Biologen großes Erstaunen aus:
Durch die Zusammenfassung der Einzelergebnisse hat sich das Größenverhältnis der relativen Häufigkeiten umgekehrt. Der "Rotkäferanteil" ist hierbei im Feuchtwiesenhabitat größer als im Kellerhabitat, obwohl in beiden Einzelergebnissen die Anteile in den Kellerhabitaten größer waren.
Dieses unerwartete Ergebnis der Kombination der Aussagengrundlagen ist ein Beispiel für das sogenannte "Simpson-Paradoxon", das bei der (additiven) Zusammenfassung von statistischen Ergebnissen von Einzeluntersuchungen auftauchen kann, wenn die erfassten relativen Häufigkeiten der Einzelergebnisse bestimmte Voraussetzungen erfüllen.
Die mathematischen Grundlagen für das Auftreten dieser "Paradoxie" lassen sich z.B. mit der Vektoraddition oder der Kombination verschiedener Trendgeraden darstellen. (vgl. Wikipedia)
Eine andere Möglichkeit ist das Verhalten der sogenannten "Medianten" von Bruchtermen, das hier im Buch ausführlich erläutert wird.
Simpson-Paradoxon - Grundlagen / Mediante
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Kurze erläuternde Zusammenfassung der Bedingungen: (anhand der Daten des o.a. Beispiels) Die "Mediante" zweier Brüche ist der Wert, der sich aus der Falschaddition "Zähler + Zähler" durch "Nenner plus Nenner" ergibt. Für die o.a. Werte der rel. Häufigkeiten ergeben sich die Medianten der "Feuchtwiesenhabitate" als `3/8 o+ 10/16 = 13/24` und `5/12 o+ 7/11 = 12/23` |
Grundvoraussetzung für die Möglichkeit eines Simpson-Paradoxon ist eine Überlappung der Bruchterme auf der Zahlengeraden der relativen Häufigkeiten beider Untersuchungen.
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Die Medianten der einzelnen relativen Häufigkeiten bilden die relativen Häufigkeiten der Zusammenfassung. Die Medianten liegen immer zwischen den beiden genutzten Bruchtermen. Die Lage der Medianten ist vom Wert der Brüche, aber auch vom Wert der Nenner abhängig. Große Nenner "ziehen" die Mediante zu dem Bruchterm mit dem großen Nenner. Beispiel: `1/2 o+ 3/4 = 4/6` `4/8 o+ 3/4 = 7/12 < 4/6` `1/2 o+ 30/40 = 31/42 > 4/6` |
Deutlich unterschiedliche Anzahlen bei statistischen Untersuchungen können demnach dazu führen, dass sich die Größenverhältnisse der zusammenfassenden Werte umkehrt. Der Wert der relativen Häufigkeit von `10/16` bei der zweiten Feuchtwiesenuntersuchung führte demnach zum "Simpson-Paradoxon", eine Untersuchung mit demselben Wert von `5/8` hätte kein Paradoxon ergeben. Die drei "Kreispunkte" wären alle links von den "Kreuzpunkten" gewesen. |
In der GeoGebra-App können Sie sich die Medianten zweier Bruchpaare darstellen und berechnen lassen und dadurch Simpson-Pardoxien erkennen.
Mit Hilfe der Erweiterung der einzelnen Brüche können Sie Zahlen für die Simpson-Paradoxien selbst herstellen.
Die roten Werte sind jeweils die Medianten.
Achtung:
Bei der Zusammenfassung von untersuchten Teilgruppen in verschiedenen statistischen Zusammenhängen handelt es sich beim Vergleich der relativen Ergebnisse immer um die Bildung von Medianten.
Hierbei besteht - bewusst oder unbewusst genutzt - immer die Gefahr des Auftretens einer Simpsonschen Paradoxie, insbesondere bei sehr unterschiedlichen Anzahlen von Probanden oder/und bei Nichtbeachtung von sehr unterschiedlichen Auswirkungen zusätzlicher Parameter.
Ein entsprechendes Beispiel finden Sie hier im Buch.
Aufgabenbeispiele für den Unterricht finden Sie hier von der 
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Einen sehr schönen filmischen Beitrag finden Sie in der Mediathek von ARTE.
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