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Startseite Qualifikationsphase Analysis LK: Funktionenscharen Diese Seite wurde aktualisiert am 29.06.2020
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Druckversion vom 03.05.2024 18:40 Uhr

LK: Funktionenscharen - Erforschen

 

Nutzen Sie möglichst die GeoGebra-App zur Darstellung in allen Kapiteln!

 

Aufgabe  

In der psychologischen Aufmerksamkeitsforschung nutzt man für die Interpretation von experimentellen Ergebnissen in der Beobachtung von hirnphysiologischen Parametern seit mehr als 150 Jahren auch mathematische Funktions-Modelle (vgl. z.B. Weber-Fechner-Gesetz aus dem 19.Jhdt.) zur Analyse der beobachteten Daten.

In der Forschung von zeitabhängigen Verläufen der Aufmerksamkeitsdaten stellt das mathematische Funktionenmodell `f_a(x) = (6ax + 0.5)* e^(-1/ax)  [a!=0]`  eine solche Modellierung dar.

Es beschreibt den Verlauf der Aufmerksamkeitsstärke (in nicht näher bezeichneten AE - Einheiten) innerhalb einer Zeitspanne von 0 bis n Stunden.

Eine sehr grobe Vereinfachung der physiologischen Hintergründe könnte z.B. interpretiert werden als Verlauf der Aufmerksamkeit von Schülern während der ersten n-Stunden nach Unterrichtsbeginn.

 

Interpretieren Sie für die Fragestellungen den Nullpunkt der Zeit als 8.00 Uhr und wählen Sie n = 4.

Untersuchen Sie in diesem Modell folgende Fragestellungen:

  1. Zeigen Sie, dass die Funktion `f(x) = (4,8x+0,5)*e^(-1.25x)` eine der Modellfunktionen ist, bestimmen Sie das zugehörige a und begründen Sie mathematisch, dass die Funktionswerte im betrachteten Intervall immer positiv sind (, obwohl das nicht immer dem Anschein entspricht!).
  2. Berechnen Sie für die Funktion aus a. die Zeitpunkte und Stärken der größten und geringsten Aufmerksamkeit.
  3. Geben Sie mit Hilfe analytischer Methoden an, zu welchen Zeitpunkten der stärkste Anstieg und das größte Nachlassen der Aufmerksamkeit nach dieser Funktion zu erwarten ist.
  4. Fertigen Sie eine Skizze für verschiedene Graphen dieses Funktionsmodells an, indem Sie für den Parameter a verschiedene Werte einsetzen und begründet entscheiden, welchen Wertebereich Sie für a als sinnvoll erachten.
  5. Der Parameter a hat insbesondere einen Einfluss auf den Zeitpunkt und die Höhe des Aufmerksamkeitsspiegels. [a selbst wird z.B. durch Stoffe wie Kaffee, Kaugummi und Nikotin beeinflusst werden können!]
    Berechnen Sie a so, dass die „maximale Aufmerksamkeit“ genau um 10.00 Uhr erreicht wird.
  6. Beschreiben Sie ein Verfahren, das es evtl. erlaubt, ein Maß für die Gesamtaufnahme innerhalb der Zeit zu berechnen und bestimmen Sie diese „Gesamtaufnahme“ in den ersten 4 Stunden für die Werte von a in den Aufgabenteilen a. und e..

Icon 3 Sterne 30x30Aufgabe 1  

`f_1(x) = x^3 - 6x^2`
`f_2(x) = x^3 - 4x^2`
`f_3(x) = x^3 - 2x^2`  und
`f_4(x) = x^3 `


sind vier Funktionsgleichungen von Parabeln mit ähnlichen geometrischen Eigenschaften.

  1. Berechnen Sie Nullstellen, relative Extrema und Wendepunkte der Funktionen und skizzieren Sie die Graphen der Funktionen  händisch in einem Koordinatensystem.
    Formulieren Sie evtl. auffallende Gemeinsamkeiten.
  2. Zeigen Sie kurz, dass alle Parabeln aus a. eine Funktionsgleichung der Form
    `f_a(x) =  x^3+6a*x^2`  mit  `a in [-1; 0] ` besitzen.
  3. Nutzen Sie Ihren GTR, GeoGebra©, Excel© oder andere Hilfsmittel zur Darstellung möglichst vieler Parabelgraphen mit `a in RR`.
  4. Untersuchen Sie nun allgemein die Funktionsschar (auch Kurvenschar genannt):
    `f_a(x) =  x^3+6a*x^2`  mit  `a in RR `. 
    Berechnen Sie dazu die Nullstellen, die relativen Extrema und die Wendepunkte der Funktionen in Abhängigkeit von a.
  5. Bestimmen Sie die Kurve, auf der die relativen Extrema liegen.
    Bestimmen Sie auch die Kurve, auf der die Wendepunkte liegen.

  schar_c.ggb 

 

 

Aufgabe 2  

Eine Schar von Funktionen wird definiert durch

`f_a(x) = (ax^2 - 2)*e^(-ax)  a in RR`

  1. Zeigen Sie, dass alle Funktionsgraphen einen gemeinsamen Punkt besitzen. Untersuchen Sie, für welche Werte von a die Funktionen Nullstellen besitzen und geben Sie einen Berechnungsterm für diese Nullstellen an.
  2. Berechnen Sie mit Hilfe der 1. und 2.Ableitungsfunktionen die lokalen Extremstellen und notieren Sie dabei, für welche Werte von a sie existieren.
  3. Begründen Sie durch eine geeignete Rechnung, dass `f_(-1)(x)` keinen Wendepunkt besitzt und geben Sie einen allgemeinen Term für die Berechnung von Wendepunkten in Abhängigkeit von a an.

 

 

Icon 3 Sterne 30x30Aufgabe 3 (optional)

`f_1(x) = -0,25x^2 + 4/3x`
`f_2(x) = -0,4x^2 + 5/3x`
`f_3(x) = -0,1x^2 + 10/9x` und
`f_4(x) = - 0,8x^2 + 5x`


sind vier Funktionsgleichungen von Parabeln mit ähnlichen geometrischen Eigenschaften.

  1. Berechnen Sie Nullstellen und Scheitelpunkt der Parabeln und skizzieren Sie die Graphen der vier Parabeln händisch in einem Koordinatensystem.
    Formulieren Sie evtl. auffallende Gemeinsamkeiten.
  2. Zeigen Sie kurz, dass alle Parabeln aus a. eine Funktionsgleichung der Form `f_a(x) =  -ax^2+1/(1-a)*x`  mit  `a in (0; 1) ` besitzen.
  3. Nutzen Sie Ihren GTR, GeoGebra©, Excel© oder andere Hilfsmittel zur Darstellung möglichst vieler Parabelgraphen aus b.
  4. Berechnen Sie mit Hilfe der bekannten mathematischen Methoden die Werte für a, für den die Parabel die geringste Entfernung zwischen den Nullstellen besitzt und für den der Scheitelpunkt den kleinsten Funktionswert besitzt.
  5. Untersuchen Sie, ob es mehrere a - Werte gibt, die zu den gleichen Nullstellen oder Scheitelpunkten führen.
  6. Zeigen Sie, dass der Scheitelpunkt von `f_0.1` auf dem Graphen von `f_0.8` und der Scheitelpunkt von `f_0.2` auf dem Graphen von `f_0.6` liegt.
    Geben Sie eine allgemeine Lösung dafür an, dass der Scheitel von `f_(a1)`  auf dem Graphen von `f_(a2)` liegt.

 

 

 

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