Druckversion vom 18.05.2024 08:39 Uhr
LK: Funktionenscharen - Aufgaben 2
Aufgabe I1 | |
Eine an ihren Enden frei aufgehängte nicht dehnbare Kette, die nur von der Schwerkraft beeinflusst ist, bildet den Graphen einer sogenannten Kettenlinie. [Wenn Sie 'mal in der Gegend sind: Das kleine Örtchen Moustiers Sainte-Marie oberhalb des Lac de St.Croix in der Provence verfügt über eine über 200m lange Metallkette an der an vergoldeter Stern aufgehangen wurde.] Diese Graphen werden von Funktionen der Funktionenschar `f_a(x) = a/2*(e^(x/a) + e^(-x/a))` mit `a !=0` gebildet. Für a = 1 bildet der Graph den sogenannten cosinus hyperbolicus. coshVeranschaulichen Sie die Ergebnisse der folgenden Berechnungen für `f_-1` und `f_4` und nutzen Sie dabei das Definitionsintervall `[-4;+4]`.
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Stern an der Kette über Moustiers! |
Aufgabe I2 |
Gegeben ist die reelle Funktionenschar `f_a(x) = (a + ln x)/x` mit `a in RR`. Stellen Sie den Verlauf der Funktionsgraphen von `f_-1`, `f_0`, `f_1` und `f_2` im Intervall `(0 ; 3]` parallel zur Aufgabenlösung mit Hilfe von GeoGebra oder Ihrem GTR dar.
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Aufgabe I3 |
Gegeben sei die Funktionenschar `f_a` mit `f_a(x) = (10x)/(x^2 + a^2) a > 0`.
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Aufgabe W1 | |
In einer Keksfabrik wird täglich in 6-Stunden-Schichten produziert. In der Einheit Tonnen/Stunde kann man die in jeder Schicht von den Teigmaschinen zum Zeitpunkt `0 <= x <= 6` (x in Stunden) momentan hergestellte Teigmenge mit der Funktionenschar `f_a(x) = e^(-ax)*(5x + 1)` beschreiben. `a > 0` Stellen Sie den Verlauf der Funktionsgraphen parallel zur Aufgabenlösung mit Hilfe von GeoGebra oder Ihrem GTR dar.
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Aufgabe W2 | |
Die beiden Funktionsgraphen von `f(x) = x^2` und `g(x) = sqrt(x)` begrenzen das Trefferfeld innerhalb des 1x1-Quadrates einer Standard-Parabel-Dart-Scheibe in einem Spielautomaten. (s.Graphik) Mit einem Zufallszahlengenerator werden dabei 5 Punkte in der 1x1-Fläche erzeugt. Ein Mathematiker kam auf die Idee, die Parabel-Dart-Scheibe allgemeiner als ein Quadrat mit der Seitenlänge a `(a > 0) ` zu beschreiben. Als begrenzende Funktionen wählte er `f_a(x) = 1/a x^2` und `g_a(x) = sqrt(ax)`. Die Zufallswerte für die Punktkoordinaten werden jeweils aus dem Intervall `[0;a]` erzeugt.
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Aufgabe W3 | |
In der Forschung zur Abwehr und Bekämpfung von ‚Naturgiften’ (Schlangengifte / Pilzgifte / Froschgifte / Fischgifte …) macht man immer wieder die Entdeckung, dass häufig die Wirkung des Giftes dadurch so fatal ist, dass der Giftstoff dafür sorgt, dass ein eigentlich im Körper vorhandener (und letzten Endes auch lebenswichtiger) Stoff in Unmengen vom Körper produziert wird und er sich dadurch letztlich selbst vergiftet. Um diesen Prozess umzukehren bzw. den Körper wieder an die normale Stoffkonzentration heranzuführen muss ein ‚Gegengift’ daher versuchen, eigene Körperstoffe kurzfristig stark abzubauen (gegen den ’Willen’ des Körpers) und anschließend den Körper zur Stoffproduktion auf ‚normalem’ Niveau zu bringen. Zur Darstellung und Berechnung derartiger Ansätze kann man mathematische Funktionsmodelle zu Hilfe nehmen und versuchen, diese Modelluntersuchungen zu übertragen bzw. zu interpretieren. Die Funktionenschar `f_a(x) = (a*ln^2(x))/x^2 + a (a > 0)` stellt ein solches Hilfsmodell der Stoffproduktion in der Zeit dar, wobei eine sinnvolle Interpretation der Funktionswerte wegen des Logarithmus erst ab `x ~~ 1/e` sinnvoll ist.
Quotientenregel in Kurzform: `(u/v)^' = (u'*v - v'*u)/v^2` und Falls `t(x) = (ln^2 x)/x^2` `rArr T(x) = ( - ln^2 x - 2ln x - 2)/x` |
Kugelfisch / Satansröhrling / Grüne Mamba / Pfeilgiftfrosch Quelle: https://pixbay.com |