LK:Funktionenscharen - Vertiefung

1. Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktionen, treffen Sie begründete Aussagen zu Nullstellen und dem Grenzverhalten für `x -> +- oo`.
2. Berechnen Sie die lokalen Extrema und Wendepunkte der Funktionen und ermitteln Sie die Funktion, auf der diese Extrema und Wendepunkte liegen. (Als kleine Hilfe nutzen Sie evtl. die Quotientenregel ).
3. Stellen Sie den Graphen der Funktion `f_10(x)` in einem Koordinatensystem dar,  z.B. mit GeoGebra oder Ihrem GTR, und konstruieren Sie einen Kreis um `(0 | 5)`  mit dem Radius `r = 5`.
   Zeichnen Sie zusätzlich die Geraden `g_1` mit der Gleichung `y = x`  und `g_2`  mit der Gleichung `y = 10`  ein.
   Die Gerade `g_1` schneidet den Kreis im Punkt `(0|0)`  und einem Punkt `PK(x_k | y)`  und die Gerade `g_2`  in einem Punkt `PG (x | 10)`.
   Zeigen Sie durch Rechnung, dass der sogenannte Agnesi-Punkt `P(x | y)` ein Punkt der "Hexenkurve" `f_10(x)` ist.
4. Zeigen Sie allgemein, dass alle Punkte `(x | y = f_a(x))` der Funktionen `f_a(x)` durch eine analoge Konstruktion wie in c. entstehen:
   K ist ein Kreis mit r = `a/2` um `M (0| a/2)`.
   `g_2` ist eine Parallele zur x-Achse mit der Gleichung `y = a`.
   `g_1` ist eine Ursprungsgerade mit der Gleichung `y = m*x`.
   `PK (x_k | y > 0)` ist der 2.Schnittpunkt von `g_1` mit dem Kreis.
   `PG (x | a)` ist der Schnittpunkt von `g_1` mit `g_2`.
   Dann ist `P(x | y)` ein Punkt des Graphen von `f_a(x)`.

Maria Gaetana Agnesi (1718 - 1799)

Bildquelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/57/Maria_Gaetana_Agnesi.jpg